mathbooks


Μετάβαση στο περιεχόμενο

Μαθηματικές μορφές

Διδακτική μαθηματικών > Διδακτική

Εισαγωγή

Γνωρίζουμε ότι τα μαθηματικά είναι ένα αξιωματικό σύστημα, δηλαδή ένα σύστημα με αξιώματα, ορισμούς και προτάσεις. Η προσπάθεια να αποδεσμευθούν από τα αισθητά πράγματα σύμφωνα με τον Πλάτωνα και, επομένως, από τα συγκεκριμένα σχήματα άνοιξε το δρόμο που τελικά οδήγησε σε ένα τέτοιο σύστημα. Όταν δεν μπορεί να προκύψει η αλήθεια με τρόπο εμπειρικό και με βάση την άμεση εποπτεία του σχήματος, τότε δε μένει άλλη επιλογή απ' το να αποδεικνύεται η αλήθεια με λογικούς συλλογισμούς. Έτσι,η αλήθεια των προτάσεων έπρεπε να προκύπτει από προτάσεις που ήδη είχαν αποδειχθεί, δηλαδή τελικά να είναι συνέπειες των αξιωμάτων.Επομένως κάθε νέα έννοια που προέκυπτε στην πορεία έπρεπε να οριστεί με ακρίβεια.
Οι Έλληνες είχαν πεισθεί ότι τα μαθηματικά και οι γνώσεις που αυτά έδιναν ανήκαν σ' ένα κόσμο διαφορετικό απ' τον κόσμο της εμπειρίας και από τις γνώσεις που προκύπτουν απ' αυτόν. Αυτός ήταν και ο λόγος που οικοδόμησαν πάνω σ' αυτή τους την πεποίθηση τη γεωμετρία.




Επιλεγμένα θέματα Ιστορίας





Ευκλείδης ο Αλεξανδρεύς


Το 306 π.Χ. ο Πτολεμαίος ο Α' είχε υπό τον έλεγχό του την Αίγυπτο. Έτσι, ίδρυσε στην Αλεξάνδρεια μια σχολή που την ονόμασε Μουσείο και κάλεσε για να διδάξουν σε αυτή τους γνωστότερους ανθρώπους των γραμμάτων της εποχής του. Μέσα σ' αυτούς ήταν και ο συγγραφέας της Ευκλείδειας γεωμετρίας (έργο του τα γνωστά Στοιχεία του Ευκλείδη). Για τον Ευκλείδη δεν είναι γνωστά πολλά πράγματα. Φημολογείται ότι σπούδασε κοντά σε μαθητές του Πλάτωνα και αναφέρεται ότι ο Πτολεμαίος του ζήτησε να του πει αν υπάρχει για την κατανόηση της γεωμετρίας κάποιος γρηγορότερος και ευκολότερος δρόμος εκτός της μελέτης των Στοιχείων. Η απάντηση του Ευκλείδη ήταν αρνητική και συγκεκριμένα ανέφερε ότι δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για τη γεωμετρία. Ένα άλλο περιστατικό από τη ζωή του αναφέρει ότι ένας μαθητής του τον ρώτησε σε τι χρειάζεται η μελέτη της γεωμετρίας (κάτι τέτοιο ρωτούν δύο χιλιάδες χρόνια περίπου μετά και οι σημερινοί μαθητές), τότε ο Ευκλείδης ζήτησε να του δώσουν τρεις δραχμές αφού αυτός ο μαθητής όπως είπε ήθελε μόνο να κερδίζει από όσα μάθαινε (κάτι τέτοιο συμβαίνει και στη σημερινή εποχή, όπου το καθετί μεταφράζεται σε χρήμα).
Τα έργα του Ευκλείδη είναι τα αρχαιότερα μαθηματικά δοκίμια που σώζονται, παρόλο που περισσότερα από τα έργα που έχει γράψει ο συγγραφέας έχουν χαθεί με κυριότερο αυτό της μελέτης των κωνικών τομών. Είναι πολύ πιθανόν η απώλεια αυτή να μας στερεί από μια διαφορετική προσέγγιση των κωνικών τομών και της αναλυτικής γεωμετρίας γενικότερα. Τα έργα του Ευκλείδη που διασώθηκαν είναι τα Στοιχεία, τα Δεδομένα, περί Διαιρέσεων, τα Φαινόμενα και τα Οπτικά. Στα Οπτικά του Ευκλείδη αναφέρεται ότι το μάτι στέλνει ακτίνες που πηγαίνουν προς το αντικείμενο που βλέπει, μια θεώρηση εντελώς διαφορετική με την προσέγγιση του Αριστοτέλη σύμφωνα με την οποία μια ενεργεία κατευθύνεται μέσα σε ένα μέσο από το αντικείμενο προς το μάτι. Τα Φαινόμενα του Ευκλείδη είναι μια μελέτη πάνω στη σφαιρική γεωμετρία και βασίζονται σε γνώσεις οικείες για την εποχή του με μεγάλη σημασία για τους Αστρονόμους. Τα Φαινόμενα του Ευκλείδη έχουν μεγάλες ομοιότητες με τη Σφαίρα του Αυτόλυκου. Είναι πιθανό και τα Στοιχεία του Ευκλείδη να είναι συγκέντρωση γνώσεων οικείων για την εποχή του μόνο που δεν υπάρχει άλλο έργο που έχει σωθεί και με το οποίο να μπορούν να συγκριθούν. Η μελέτη περί Διαιρέσεων του Ευκλείδη είναι και αυτή ένα έργο που θα είχε χαθεί αν δεν το διέσωζαν οι Άραβες μεταφράζοντάς το πρώτα στη γλώσσα τους και έπειτα μέσω της λατινικής μετάφρασης έφτασε στις μέρες μας. Πολύ βασικές είναι οι προτάσεις που αναφέρονται στη διαίρεση των σχημάτων (π.χ. η κατασκευή ευθείας παράλληλης προς τη βάση ενός τριγώνου που να το διαιρεί σε δύο ισεμβαδικές επιφάνειες). Τα Δεδομένα του Ευκλείδη θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως ο πρόδρομος ενός βιβλίου διδακτικής των μαθηματικών που αναφέρεται στη λύση προβλήματος. Λέγεται ότι γράφτηκε για να μπορούν να το χρησιμοποιούν στο πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας ως συνοδευτικό των πρώτων έξι βιβλίων των Στοιχείων και ο ρόλος του ήταν να χρησιμεύει ως μια μέθοδος ανάλυσης των προβλημάτων της γεωμετρίας με απώτερο σκοπό την ευκολότερη εύρεση αποδείξεων. Ξεκινά με ορισμούς που αναφέρονται σε μεγέθη και γεωμετρικούς τόπους, ενώ το μεγαλύτερο μέρος του περιέχει προτάσεις που αναφέρονται στις συνέπειες των συνθηκών και των μεγεθών που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πρόβλημα.
Από τα στοιχεία που υπάρχουν συμπεραίνουμε ότι ο Ευκλείδης μπορεί να μην ανακάλυψε μετά από έρευνα καινούργιες μαθηματικές γνώσεις, αλλά ανήκε στην κατηγορία των ατόμων με μεγάλη διδακτική δεινότητα , γεννημένος με το χάρισμα του εξαίρετου δασκάλου. Έγραψε ένα βιβλίο (τα Στοιχεία) που προφανώς δεν ήταν το πρώτο στο είδος του αλλά έμελλε να είναι εκείνο που θα άλλαζε τον τρόπο επιστημονικής σκέψης των ανθρώπων από την εποχή του μέχρι και σήμερα. Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία με τα πρώτα έξι να αναφέρονται στη γεωμετρία του επιπέδου, τα επόμενα τρία στη θεωρία των αριθμών, το δέκατο στους άρρητους αριθμούς και τα υπόλοιπα στη στερεομετρία. Το πρώτο βιβλίο περιέχει 23 ορισμούς. Μετά τους ορισμός αναφέρει πέντε αιτήματα και 5 αξιώματα (υπάρχουν χειρόγραφα που παρουσιάζουν και τις δέκα προτάσεις σε μια κατηγορία) . Με τα σημερινά κριτήρια υπάρχουν κενά και ελλείψεις στη διατύπωση, όμως τα στοιχεία του Ευκλείδη ήταν το πιο σωστά και αυστηρά δομημένο επιστημονικό έργο της εποχής του και όχι μόνο. Όπως είπαμε παραπάνω ο Ευκλείδης δεν έγραψε τα στοιχεία για να τονίσει τόσο την αυστηρά επιστημονική δομή τους όσο την παιδαγωγική τους επάρκεια μιας και αποτελούσαν τις στοιχειώδεις γνώσεις των μαθηματικών της εποχής του που έπρεπε να διδαχθούν στο Μουσείο της Αλεξάνδρειας. Γι' αυτό το λόγο και δεν συμπεριελάμβανε στο έργο του τις κωνικές τομές ή και άλλες επίπεδες καμπύλες γιατί η διαπραγμάτευση τέτοιων θεμάτων θεωρούνταν ανώτερα μαθηματικά. Το δεύτερο βιβλίο των στοιχείων περιλαμβάνει 14 προτάσεις που για την εποχή τους είχαν μεγάλη σημασία στην εκπαίδευση. Σήμερα η άλγεβρα και η τριγωνομετρία που χρησιμοποιούμε αντικατέστησε τα γεωμετρικά ισοδύναμα των Ελλήνων μαθηματικών, αν και από διδακτικής πλευράς είναι ωφέλιμη η αντιστοίχηση αυτή (π.χ. η γνωστή μας επιμεριστική ιδιότητα στο γεωμετρικό της ισοδύναμο αποτελούσε βασική πρόταση του βιβλίου). Το δεύτερο βιβλίο των στοιχείων είναι μια γεωμετρική άλγεβρα με ρόλο ισοδύναμο με αυτόν της συμβολικής στις μέρες μας. Οι μελετητές των στοιχείων του Ευκλείδη υποθέτουν ότι τα δύο πρώτα βιβλία του αποτελούν στην ουσία τις μελέτες των πυθαγόρειων, ενώ τα δύο επόμενα που ασχολούνται με την γεωμετρία του κύκλου είναι υλικό από το έργο του Ιπποκράτη της Χίου. Τα βιβλία ΙΙΙ και ΙV περιέχουν την ύλη, σχεδόν, των σημερινών βιβλίων πάνω στον κύκλο. Τα βιβλία V και Χ που αναφέρονται στη γενική θεωρία των αναλογιών και στην ταξινόμηση των αρρήτων αντίστοιχα. Οι μαθηματικοί απέφευγαν μετά την ανακάλυψη των αρρήτων να χρησιμοποιούν τις αποδείξεις με αναλογίες. Έτσι, και ο Ευκλείδης ενώ θα μπορούσε να τις χρησιμοποιήσει πιο μπροστά και να αποφύγει τις δυσκολίες που ανέκυπταν στη δομή του έργου του προτίμησε να τις εισάγει όταν πλέον του ήταν απόλυτα αναγκαίες. Παρόλο που σήμερα το πέμπτο βιβλίο μπορεί να κριθεί περιττό, αφού οι προτάσεις του έχουν αντικατασταθεί από νόμους της Άλγεβρας, οι ιστορικοί μελετητές αναφέρουν ότι πρέπει να παραδεχθούμε τη σπουδαιότητά του την εποχή εκείνη πάνω σε ουσιώδη θέματα θεμελίωσης των μαθηματικών. Αναφέρεται στην επιμεριστικότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση, την προσεταιριστικότητα του πολλαπλασιασμού, τις έννοιες του μεγαλύτερου και μικρότερου από, καθώς και με τις ιδιότητες των αναλογιών. Στο επόμενο βιβλίο του VI ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί τις αναλογίες για να αποδείξει θεωρήματα ομοιότητας. Αξιοσημείωτη εδώ θεωρείται η πρόταση που είναι επέκταση του πυθαγορείου θεωρήματος, αποδίδεται από τον Πρόκλο στον Ευκλείδη και λέει ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο αν σχεδιάσουμε ένα σχήμα με πλευρά την υποτείνουσα, τότε το εμβαδόν του σχήματος αυτού θα ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των ομοίων και κατά όμοιο τρόπο σχεδιασμένων σχημάτων στις δύο κάθετες πλευρές. Τα επόμενα τρία βιβλία VII,VIII,IX των στοιχείων αναφέρονται στη θεωρία των αριθμών. Αριθμός στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς ήταν ο σημερινός θετικός ακέραιος. Στο βιβλίο VII ορίζονται οι περιττοί, άρτιοι, πρώτοι, σύνθετοι, επίπεδοι, στερεοί και οι τέλειοι αριθμοί. Κάθε αριθμός από τον Ευκλείδη αντιπροσωπεύεται από ευθύγραμμο τμήμα π.χ. ο αριθμός ΑΒ. Με την ανακάλυψη των αρρήτων δεν είναι αληθής πρόταση το αντίστροφο, αφού σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα δεν αντιστοιχεί κάποιος θετικός ακέραιος αριθμός. Ο Ευκλείδης στο έργο του αντικαθιστά το " πολλαπλάσιο του" και το "παράγοντας του" με το " μετριέται από". Το βιβλίο VI ξεκινά με τον γνωστό " Ευκλείδειο αλγόριθμο" για την εύρεση του μέγιστου μέτρου (Μ.Κ.Δ) δύο αριθμών. Το βιβλίο VII περιέχει τη γνωστή μας γεωμετρική πρόοδο και κάποιες άλλες προτάσεις για ιδιότητες τετραγώνων και κύβων. Το βιβλίο IX περιέχει την πρόταση που λέει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε πολλαπλάσιο πρώτων αριθμών, δηλαδή ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι. Το βιβλίο Χ περιέχει 115 προτάσεις που περιέχουν γεωμετρικά ισοδύναμα των σημερινών αρρήτων αριθμών. Μέσα σε αυτές τις προτάσεις υπάρχουν και αυτές που αναφέρονται στη ρητοποίηση του παρονομαστή. Τα ευθύγραμμα τμήματα που περιγράφονται από τετραγωνικές ρίζες ή τετραγωνικές ρίζες αθροισμάτων τετραγωνικών ριζών είναι κατασκευάσιμα με κανόνα και διαβήτη. Η ύλη του βιβλίου ΧΙ αναφέρεται σε προτάσεις της γνωστής μας Στερεομετρίας. Στο βιβλίο ΧΙΙ έχουμε δεκαοκτώ προτάσεις που αναφέρονται στη μέτρηση σχημάτων με αυστηρές αποδείξεις με τη μέθοδο της εξάντλησης που ο Αρχιμήδης τις αποδίδει στον Εύδοξο. Το τελευταίο βιβλίο αναφέρεται στις ιδιότητες των πέντε κανονικών στερεών. Γίνεται προσπάθεια να περικλείσουν καθένα από τα γεωμετρικά στερεά σε μια σφαίρα, δηλαδή η εύρεση του λόγου μιας ακμής του στερεού προς της ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας. Από τους μελετητές αναφέρεται η μεγάλη συμβολή του Θεαίτητου στο βιβλίο ΧΙΙΙ.
Άλλα δύο βιβλία το 14ο και 15ο που κάποιοι απέδιδαν στον Ευκλείδη δεν είναι δικά του έργα, αλλά σύμφωνα με ιστορικούς μελετητές το πρώτο αναφέρεται ως έργο του Υψικλή και το άλλο ως έργο του Ισιδώρου από τη Μίλητο, αρχιτέκτονα του ναού της Αγίας Σοφίας στην Κωνσταντινούπολη. Είναι γεγονός ότι τα " Στοιχεία" του Ευκλείδη ήταν το έργο εκείνο που επηρέασε όσο κανένα άλλο τη μαθηματική σκέψη για 2000 χρόνια. Γράφτηκε γύρω στο 300 π.Χ και αντιγράφηκε πολλές φορές με αποτέλεσμα να παρεισφρήσουν στο αρχικό κείμενο λάθη, επεξηγήσεις, παραλλαγές, σχόλια κυρίως ιστορικού περιεχομένου και να γίνουν προσπάθειες βελτίωσης. Παρόλα αυτά ήταν εμφανή τις περισσότερες φορές τα επιπρόσθετα στοιχεία και δεν αλλοίωναν το πρωτότυπο κείμενο. Πρώτη εκτύπωση των "Στοιχείων" έγινε στη Βενετία το 1482.

Πηγές:
C. Boyer - U. Merzbach, Η ιστορία των μαθηματικών, Εκδόσεις Πνευματικού, Αθήνα 1997
S. Hollingdale, Makers of Mathematics, Dover, New York 2006

Αρχική σελίδα | Μαθηματικά βιβλία | Μαθηματικά και νέες τεχνολογίες | Διδακτική μαθηματικών | Τα μαθηματικά της εκπαίδευσης | Δικτυακοί τόποι | Μαθηματικοί διαγωνισμοί | Εκδόσεις | Χάρτης | Πλάνο του δικτυακού τόπου


Επιστροφή στο περιεχόμενο | Επιστροφή στο κύριο μενού