mathbooks


Μετάβαση στο περιεχόμενο

Ιστορία και φιλοσοφία

Διδακτική μαθηματικών > Διδακτική

Η γεωμετρία των καμπύλων τον 17ο αιώνα

Η έννοια των καμπύλων είναι παλιά και θεμελιώδης στα μαθηματικά και εμφανίζει μεταβολές ανάλογα με τα διαφορά φιλοσοφικά μοντέλα των μαθηματικών που επικράτησαν κατά καιρούς. Η μαθηματική έννοια της καμπύλης είναι πολύ κοντά σ' αυτό που καταλαβαίνουμε από τη διαίσθησή μας και πολύ βασική για τις εφαρμογές της καθημερινής μας ζωής. Όπως και οι περισσότερες έννοιες της επιστήμης των μαθηματικών έτσι κι αυτή έως ότου να καθοριστεί πλήρως πέρασε μέσα από διάφορους μετασχηματισμούς. Αυτό δηλώνει τη δυνατότητα της επιστήμης των μαθηματικών να ξεπερνά τα εννοιολογικά εμπόδια που προκύπτουν. Ιστορικά ο τρόπος κατανόησης της έννοιας έχει να κάνει με το μαθηματικό φιλοσοφικό σύστημα που επικρατούσε σε κάθε εποχή και ο τρόπος χρήσης της έχει να παρουσιάσει ευρύτερες φιλοσοφικές θεωρήσεις και τρόπους προσέγγισης.
Το 300 π.χ. ο Ευκλείδης ορίζει την καμπύλη (την ονομάζει γραμμή) ως μήκος χωρίς πλάτος. Αυτός ο ορισμός εμπεριέχει κάποιες ιδιότητες της καμπύλης, αλλά δεν μπορεί να δώσει πλήρη μαθηματικό ορισμό της έννοιας. Είναι γεγονός ότι ο Ευκλείδης δεν θα μπορούσε να ορίσει γενικότερα την έννοια της καμπύλης γιατί δεν του το επέτρεπε η ανάπτυξη των μαθηματικών εκείνης της εποχής. Έτσι, περιορίστηκε στις δύο απλούστερες καμπύλες: Την ευθεία και τον κύκλο. Στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά ως εργαλεία για τη λύση προβλημάτων χρησιμοποιούνταν και άλλες καμπύλες, όπως οι σπείρες του Αρχιμήδη και οι κωνικές τομές. Οι Έλληνες μαθηματικοί συνήθως ασχολούνταν με προβλήματα που έπρεπε να κατασκευαστούν υποχρεωτικά με τη χρήση κανόνα και διαβήτη και θεωρήματα που έπρεπε να αποδειχθούν. Έτσι βρίσκονταν συνεχώς στην αναζήτηση νέων μεθόδων και λύσεων. Από οντολογικής πλευράς τα αντικείμενα της γεωμετρίας υπάρχουν και δεν αλλάζουν μορφή, άρα η κίνηση στην ελληνική γεωμετρία δεν υφίσταται. Το πρόβλημα αυτό προσπάθησε να λύσει ο Πρόκλος λέγοντας ότι οι θέσεις, οι τομές, η πρόσθεση και αφαίρεση βρίσκονται στη φαντασία μας χωρίς γέννηση και μεταβολή. Αυτή η τοποθέτηση επέδρασε καθοριστικά στην αρχαία ελληνική γεωμετρία π.χ. στα Στοιχεία του Ευκλείδη οι ορισμοί που δίνονταν μέσω ιδιότητας είχαν προτεραιότητα απέναντι στους ορισμούς που δίνονταν μέσω γένεσης π.χ. ότι ο κώνος είναι το σχήμα που προκύπτει όταν ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί γύρω από μια κάθετη πλευρά του - η οποία μένει ακίνητη - και επανέλθει στη θέση απ' την οποία άρχισε να κινείται. Ορισμοί μέσω ιδιότητας είναι οι ορισμοί της ευθείας και του κύκλου. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι η ευθεία και ο κύκλος είναι πρωταρχικές για τα σχήματα και η κίνηση με την οποία αυτές περιγράφονται μπορεί να κατανοηθεί εύκολα και ξεκάθαρα από τη σκέψη μας, σε αντίθεση με τις περιπτώσεις που οι κινήσεις εμπεριέχουν τη χάραξη μιας άλλης γραμμής. Παρόλα αυτά στα αρχαία ελληνικά μαθηματικά αν ένα πρόβλημα δεν μπορούσε να κατασκευαστεί με κύκλους και ευθείες δεκτοί ήταν και άλλοι τρόποι με την προϋπόθεση βέβαια ότι θα έδιναν τη λύση. Χαρακτηριστική είναι η ταξινόμηση των προβλημάτων του Πάππου στη Συλλογή, όπου υπήρχαν τρεις κατηγορίες: Προβλήματα που μπορούσαν να κατασκευαστούν με ευθείες και κύκλους, προβλήματα που μπορούσαν να λυθούν με τη χρήση κωνικών τομών και προβλήματα που μπορούσαν να κατασκευαστούν με χρήση άλλων καμπύλων (σπείρες κ.λπ.). Μάλιστα ο Πάππος ανέφερε ότι αν ένα πρόβλημα μπορούσε να κατασκευαστεί με ευθείες και κύκλους (με χρήση χάρακα και διαβήτη) είναι λάθος να κατασκευαστεί με άλλο τρόπο. Στην ελληνική γεωμετρία οι καμπύλες ορίζονται: ως τομές επιφανειών (κωνικές τομές), ως γραμμές που χαράσσονται με κινήσεις (σπείρα, τετραγωνίζουσα και καμπύλες που κατασκευάζονται με όργανα) και τέλος ως γεωμετρικοί τόποι σημείων που έχουν κοινή ιδιότητα.
Πρώτος ο Viete τον 16ο αιώνα έδειξε ότι η τριχοτόμηση της γωνίας καθώς και η εύρεση δύο μέσων ανάλογων ήταν προβλήματα επιλύσαμε και, επιπλέον, έδειξε ότι κάθε γεωμετρικό πρόβλημα κατασκευής που μετά τον αλγεβρικό μετασχηματισμό του κατέληγε σε εξίσωση τρίτου ή τέταρτου βαθμού ήταν επιλύσιμο.
Τόσο στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς όσο και στον Descartes τον 17ο αιώνα που ασχολήθηκε σε βάθος με την έννοια της κατασκευασιμότητας υπάρχουν δύο τρόποι περιγραφής των καμπυλών: την περιγραφή μέσω ιδιότητας που έχουν όλα τα σημεία μιας καμπύλης και μόνο αυτά (στον Descartes αυτή η ιδιότητα έχει μορφή εξίσωσης) και την περιγραφή από γένεση (κατασκευή της καμπύλης - γεωμετρική ή με όργανο). Ο Descartes θέτει τα δικά του κριτήρια για το ποιες καμπύλες είναι αποδεκτές στη γεωμετρία και ποιες στη μηχανική. Αποδεκτές είναι καμπύλες που προκύπτουν από αρθρωτά όργανα που οι κινήσεις των ξεχωριστών τμημάτων τους καθορίζονται από την κίνηση μόνο ενός εξ αυτών. Μη αποδεκτές είναι καμπύλες που προκύπτουν από δύο ανεξάρτητες κινήσεις (σπείρα, τετραγωνίζουσα). Η κατάταξη του Descartes έχει ως βάση την περιγραφή της καμπύλης μέσω ιδιότητας, οπότε οι καμπύλες κατατάσσονται ως προς τον βαθμό των αντίστοιχων εξισώσεων. Όσον αφορά την κατασκευασιμότητα προχωρά ένα βήμα παραπέρα από τον Πάππο και λέει ότι:

  • οι καμπύλες που είναι γεωμετρικές ορίζονται από αλγεβρικές εξισώσεις με γραμμικές συντεταγμένες,
  • όταν μια καμπύλη ορίζεται από μια αλγεβρική εξίσωση, τότε μπορεί να χαραχθεί με έναν συνδυασμό κινήσεων που είναι γεωμετρικά αποδεκτός και
  • στις κατασκευές εκτός από τη χρήση ευθειών και κύκλων θα πρέπει να χρησιμοποιούνται από εκεί και πέρα η απλούστερες δυνατές καμπύλες, δηλαδή οι εξισώσεις αυτών των καμπυλών να έχουν το μικρότερο δυνατό βαθμό.

Το πρώτο μέρος της Μεθόδου του Descartes για την επίλυση προβλημάτων αναφέρεται στη μετάφραση του γεωμετρικού προβλήματος σε αλγεβρικό, δηλαδή ο μετασχηματισμός των δεδομένων του με εξισώσεις τόσες όσοι και οι άγνωστοι. Κατόπιν, κάνοντας απαλοιφή αγνώστων φτάνει σε μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο, οπότε το πρόβλημα ανάγεται στη λύση αυτής της εξίσωσης , που στη συνέχεια παραγοντοποιείται σε πολυώνυμα μικρότερου βαθμού τα οποία έχουν γνωστή γεωμετρική ερμηνεία. Τέλος, η λύση προκύπτει σαν τομή τέτοιων καμπύλων. Η σωστή πορεία εξασφαλίζεται με την γεωμετρική κατασκευή των μεγεθών και των αναλογιών που εμφανίζονται. Με την αυτονόμηση της άλγεβρας εγκαταλείφθηκε περίπου το 1750 η διαδικασία γεωμετρικές κατασκευής των εξισώσεων. Η εισαγωγή των συντεταγμένων από τον Descartes έδωσε τη δυνατότητα ορισμού της έννοιας της καμπύλης με γενικό τρόπο, αφού σε κάθε καμπύλη μπορούσε να αντιστοιχηθεί μια εξίσωση (μια σχέση ανάμεσα στην συντεταγμένες των σημείων της) ώστε να την ικανοποιούν αποκλειστικά και μόνο τα σημεία της καμπύλης αυτής.
Ο Fermat την ίδια εποχή ασχολείται με το αντίστροφο της όλης προσπάθειας, δηλαδή μέχρι τότε σε μια καμπύλη ενός γεωμετρικού προβλήματος προσπαθούσαν να βρουν την εξίσωση που αντιστοιχεί σ' αυτή ενώ τώρα προσπαθούσε σε μια εξίσωση να βρει ποια καμπύλη αντιστοιχεί (ποιο είναι το γεωμετρικό ανάλογο της εξίσωσης). Κατ' αυτόν τον τρόπο θα μπορούσε να δοθεί ένας γενικός ορισμός της καμπύλης που να περιλαμβάνει όλες τις γνωστές καμπύλες και επί πλέον να επιτρέπει να κατασκευαστούν τόσες διαφορετικές καμπύλες όσα διαφορετικά είδη εξισώσεων υπάρχουν, δηλαδή όλες οι λεγόμενες αλγεβρικές καμπύλες που έχουν μορφή φ(x,y)=0, όπου φ(x,y) πολυώνυμο με μεταβλητές x,y. Τελικά, καμπύλη ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση φ(x,y)=0. Αυτή η διαφορετική οπτική δεν βρήκε την απήχηση που θα ταίριαζε σε μια τόσο σημαντική ανακάλυψη αλλά μόνο αργότερα όταν ο Newton μελέτησε τις καμπύλες ανώτερου βαθμού.
Από τις αρχές του 18ου αιώνα και έπειτα η εξέλιξη ήταν ταχύτατη. Θυμίζουμε την ανακάλυψη των δεκαδικών λογαρίθμων από τον Napier το 1614, την εμφάνιση της λογαριθμικής καμπύλης γύρω στο 1640 από τον Torricelli, τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις από τους Fermat και Roberval μέσω των κυκλοειδών. Σ' αυτό το σημείο αξίζει να αναφέρουμε ότι η κυκλοειδής καμπύλη πρωτοεμφανίστηκε τον 15ο αιώνα και ήταν η μόνη από τις μέχρι τότε καμπύλες που δεν είχαν μελετηθεί από τους αρχαίους γεωμέτρες. Αφορμή της δημιουργίας της υπήρξε η τροχιά ενός σημείου που κινείται και από εκείνη τη στιγμή το φυσικό φαινόμενο της κίνησης άρχισε να λαμβάνεται υπόψη στις μελέτες των καμπύλων. Μετά την ανακάλυψη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ο Euler επισημαίνει την περιοδικότητα τους. Από τη μελέτη των φυσικών φαινομένων είναι ραγδαία η ανάπτυξη του απειροστικού λογισμού. Τον 18ο αιώνα ξεκινά η μελέτη των καμπυλών ως γεωμετρικού αντικειμένου με αναζήτηση αναλλοιώτων. Ο Bernoulli προσπαθεί για πρώτη φορά να ορίσει την συνάρτηση μιας μεταβλητής, o Euler συμβάλλει προς αυτό το σκοπό και ο Dirichlet γενικεύει τον ορισμό της συνάρτησης, οπότε πλέον μπορούμε να μιλάμε για μη συνεχείς συναρτήσεις. Το 1834 ο Bolzano αναφέρεται σε συνεχή καμπύλη που δεν έχει σε κανένα σημείο εφαπτομένη και στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο Weierstrass μελετά καμπύλες χωρίς εφαπτόμενες. Εκείνη την εποχή δημιουργούνται και τα πρώτα προβλήματα στον απειροστικό λογισμό από την παραδοχή και συνεχή χρήση του απείρου που προκαλούν πολλές συζητήσεις για την βεβαιότητα και την αυστηρότητα που έχουν τα συμπεράσματα των μαθηματικών. Αρχές 19ου αιώνα δόθηκε ο ορισμός του ορίου από τον Cauchy και ένα κίνημα θεμελίωσης των μαθηματικών έχει ξεκινήσει αφού πλέον είναι ορατά τα προβλήματα στον απειροστικό λογισμό o οποίος μελέτησε το πρόβλημα των συνεχών κινήσεων στηριζόμενος στην έννοια του συνεχούς φορέα της γραμμής και στην έννοια του απείρου. Πλέον, τα μαθηματικά έχουν αλλάξει πάρα πολύ σε σχέση με την εποχή των αρχαίων Ελλήνων και μια νέα θεμελίωση εναγωνίως αναζητείται. Οι Cantor και Dedekind προσπαθούν να διερευνήσουν την αλήθεια των εμπειρικών παραδοχών μας για τα μαθηματικά αντικείμενα. Η έννοια του συνεχούς φορέα της γραμμής δεν είναι καλά ορισμένη, είναι αόριστη και εμπειρική. Έτσι, τα μαθηματικά θεμελιώθηκαν πάνω στη θεωρία των συνόλων στο τέλος του δέκατου ένατου αιώνα κυρίως με τη συνεισφορά του Dedekind, που αποκατέστησε τη σύνδεση του συνεχούς με το διακριτό μέσω των αξιωμάτων της πλήρωσης.


Βιβλιογραφία
[1] Π. Σπύρου, Επιστημολογία και Διδακτική των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αθηνών, Αθήνα 1999.
[2] C. Boyer - U. Merzbach, H ιστορία των Μαθηματικών, εκδόσεις Πνευματικού, Αθήνα 1997.

Αρχική σελίδα | Μαθηματικά βιβλία | Μαθηματικά και νέες τεχνολογίες | Διδακτική μαθηματικών | Τα μαθηματικά της εκπαίδευσης | Δικτυακοί τόποι | Μαθηματικοί διαγωνισμοί | Εκδόσεις | Χάρτης | Πλάνο του δικτυακού τόπου


Επιστροφή στο περιεχόμενο | Επιστροφή στο κύριο μενού