mathbooks


Μετάβαση στο περιεχόμενο

Διδακτική προσέγγιση προβλήματος

Διδακτική μαθηματικών > Διδακτική

Άσκηση 1

Αν ΑΒΓ ισοσκελές τρίγωνο με και οι ευθείες Βχ και Γψ τέμνουν τις πλευρές ΑΓ και ΑΒ του τριγώνου στα σημεία Δ και Ε σχηματίζοντας με τη ΒΓ γωνίες και αντίστοιχα, βρείτε τη γωνία

Λύση

Επειδή και θα είναι , αφού το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
Είναι

Από το Β φέρνουμε τη ΒΖ τέτοια ώστε να σχηματίζει με τη ΒΓ γωνία
.
Είναι
, επομένως το ΒΖΓ ισοσκελές, οπότε ΒΖ=ΒΓ
Επίσης
, επομένως το ΓΕΒ ισοσκελές, οπότε ΒΕ=ΒΓ.
Τελικά ΒΖ=ΒΕ, άρα ΒΖΕ ισοσκελές απ' όπου θέτοντας
πέρνουμε:
Έχουμε
, οπότε ΒΖΕ ισόπλευρο.
Όμως

, οπότε ΖΔΒ ισοσκελές, επομένως
.
Έτσι, ΖΔΕ ισοσκελές και αν
θα έχουμε:
Τελικά


Διδακτικά σχόλια
Η στρατηγική προσέγγισης της λύσης βασίστηκε στη σχέση και τελικά επικεντρώθηκε στην εύρεση των γωνιών και . Από αυτές η μπορούσε να ποκύψει εύκολα ότι ήταν από τα δεδομένα της άσκησης, οπότε η όλη προσπάθεια αποσκοπούσε στον προσδιορισμό της για την οποία δεν υπήρχε εμφανές πάτημα που θα οδηγούσε στην εύρεσή της. Έτσι, αποφασίστηκε να αναλυθεί σε άθροισμα δύο άλλων γωνιών η εύρεση των οποίων θα ήταν ευκολότερη. Η τεχνική που εφαρμόστηκε ήταν η ακόλουθη:
Η βοηθητική ευθεία ΒΖ έπρεπε να ήταν τέτοια ώστε να προέκυπταν ισοσκελή ή ισόπλευρα τρίγωνα τα οποία να περιείχαν τις ζητούμενες γωνίες ως όλο ή μέρος των γωνιών τους και ειδικά για τα ισοσκελή τρίγωνα να περιέχονταν οι άγνωστες γωνίες σε μια απ' τις γωνίες της βάσης τους με γνωστή τη γωνία της κορυφής. Αυτό θα οδηγούσε στον άμεσο προσδιορισμό των άγνωστων γωνιών αφού το διπλάσιο της άγνωστης γωνίας μαζί με τη γνωστή γωνία της κορυφής θα ήταν
. Για παράδειγμα, στο τρίγωνο ΖΕΒ που προκύπτει εύκολα ότι είναι ισοσκελές η άγνωστη γωνία περιέχεται σε μια από τις γωνίες της βάσης του οπότε το διπλάσιο αυτής της γωνίας που είναι μαζί με τη γωνία της κορυφής που είναι θα ισούται με . Έτσι εύκολα προκύπτει η γωνία . Όμοια από το ισοσκελές ΔΕΖ προκύπτει η γωνία .




Αρχική σελίδα | Μαθηματικά βιβλία | Μαθηματικά και νέες τεχνολογίες | Διδακτική μαθηματικών | Τα μαθηματικά της εκπαίδευσης | Δικτυακοί τόποι | Μαθηματικοί διαγωνισμοί | Εκδόσεις | Χάρτης | Πλάνο του δικτυακού τόπου


Επιστροφή στο περιεχόμενο | Επιστροφή στο κύριο μενού